«Самая близкая духу наука будет высшая математика…»

(Живая Этика)

Математика (др.-греч. изучение, наука) занимается операциями с числами, описаниями и измерениями формы объектов. Она не относится к наукам естественным – математические объекты создаются хоть и на основе свойств реальных объектов, но в идеальном, абстрактном виде, а запись их свойств производится в виде формул на формальном языке. И все-таки Математика — фундаментальная наука, предоставляющая средства всем другим наукам и помогает им описать изучаемые предметы, выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы. Другими словами можно сказать, что в то время как естественные науки имеют дело с миром вещественным, Математика оперирует идеями. Еще Пифагор в VI в. до н.э. учил, что Вселенная создана Числом.

Учение о Числах «величайшего эллинского мудреца» не было его собственным изобретением, он перенял его в своих странствиях по Востоку – Египет, Халдея, Индия. Именно там кроются его истоки. Так же и кабалистическая «Сефер Иецира» (Книга Творения), в которой Сефироты – это ничто иное как Числа, была списана евреями с халдейской «Книги Чисел», которые в свою очередь наследовали это знание от древних индусов. Именно в архаической Индии и оформилась, а затем уже распространилась по всему миру, наука о числах, в виде обычной прикладной математики и как высшее философское учение.

Современные, так называемые «арабские цифры» тоже возникли в Индии. Там же было открыто и формализовано понятие нуля (шунья), которое позволило перейти к позиционной записи чисел, и, которого не было у других народов. Арабские цифры являются всего лишь видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму. Абу Джафар Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми, автор знаменитой работы «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», от названия которой произошёл термин «алгебра», широко популяризировал индийскую систему записи. Он написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшую распространению десятичной позиционной системы записи чисел во всём Халифате, вплоть до Мусульманской Испании.

Достижения Древнеиндийской цивилизации стали неотъемлемым компонентом мирового цивилизационного развития. Те, кто изучал древнюю философию Индии с твёрдым намерением проникнуть в тайный смысл её афоризмов, в большинстве случаев убедились, что с самых древних времён свойства электричества были в значительной доле известны таким философам, как, например, Патанжали. Чарака и Шушрут изложили систему Гиппократа ещё за несколько веков до того, кого на Западе так долго называли «отцом медицины». Исчисления Сурьи-Сидхенты, доказывающие, что он знал и исчислил силу паров, века тому назад, неизгладимо начертаны на камне, что хранится в Бадринатском храме Вишну. Древние индусы первые вычислили скорость света и определили законы, которым он следует в своём отражении; а Пифагорова таблица и его знаменитая теорема о свойстве квадрата гипотенузы находятся в древних книгах Джиотиши (Geotisha). Ещё недавно западные математики указывали на Гиппарха Никейского как на отца тригонометрии, хотя всё, что они когда-либо могли узнать о нём, почерпнуто ими со слов его же ученика Птоломея; а теперь в Индии найдена древняя рукопись, доказывающая, что «уравнение центра» было известно индусам задолго до Р.Х.

Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний. В I тысячелетии н.э. индийские учёные подняли античную математику на новую, более высокую ступень. Они изобрели привычную нам десятичную позиционную систему записи чисел, предложили символы для 10 цифр, которые, с некоторыми изменениями, используются повсеместно в наши дни, заложили основы арифметики, комбинаторики, разнообразных численных методов, в том числе и тригонометрических расчётов.

В Веданга-джйотише, содержащей правила отслеживания движения Солнца и Луны, высоко оценивается роль математики (ганиты) в ряду других наук. Она сравнивается с гребешком павлина или капюшоном кобры, что символизирует нахождение на самой вершине. Древние архитектурные и хозяйственные постройки (храмы, дренажная система, зернохранилища, доки и дома, колодцы), имеющие тысячелетнюю историю, величественные философские учения, астрономические исследования, медицина и многое другое, что принесла в мир великая цивилизация древней Бхараты, все это было бы практически невозможным без знания математики.

Развитие индийской математики началось еще в незапамятные времена, хотя документальных сведений о начальном её периоде практически нет. Среди наиболее древних из сохранившихся индийских текстов, содержащих математические данные, выделяется серия дополняющих Веды религиозно-философских книг Шульба-сутры. Эти сутры описывают построение жертвенных алтарей. Самые старые редакции этих книг относятся к VI веку до н.э., и примерно до III века до н.э. они постоянно дополнялись. Уже в этих древних манускриптах содержатся богатые математические сведения, по своему уровню не уступающие вавилонским:


- действия с дробями;

- извлечение корней (карани);

- рациональные приближения для корней;

- решение неопределённых уравнений;

- суммирование арифметической и геометрической прогрессий;

- теорема Пифагора;

- точные и приближённые методы для нахождения площади треугольника, параллелограмма и трапеции, объёма цилиндра, призмы, усечённой призмы.

Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается в сутрах, начиная примерно с IV в. до н.э. Индийские математики первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. Во II в. до н.э. индийцы уже знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени n равна 2ⁿ.

Индийские учёные изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятеричных, как у вавилонян. В VII веке сирийский христианский епископ Сирии Севера Себохта, желая показать, что греки не обладают монополией на науку, сослался на находчивость индийских ученых. Единственным математическим навыком, который он вспоминает, была их система вычислений, использующая 9 цифр. В комментарии указывается на наибольшее преимущество этой системы — ее экономичность. Сокращая количество символов, необходимых для записи всех чисел до 10-9 цифр и нуля — система достигает идеала экономии и эффективности. Индийские мудрецы хорошо знали преимущества экономии. У них был и рабочий термин для нее — лагхава, или легкость — и они совершенствовали ее с древнейших времен в различных областях знаний. Северус Себохт писал: «Я не стану касаться науки индийцев… их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счёт производится с помощью девяти знаков».

Нет вероятного документального свидетельства того, как и каким образом, эта система была изобретена в Индии и как она развивалась. Древнейшее упоминание — литературное. Васумитра, буддийский писатель и выдающийся деятель великого религиозного совета, созванного королем Канишкой, правившим над всей северо-западной Индией в конце І в. начале ІІ века н.э., утверждал в книге о буддийском учении: если материя существует во всех трех временных измерениях (прошлом, настоящем и будущем), каждый раз, когда она переходит в новое состояние, считается чем-то другим, то это изменение обязано различным состояниям, а не изменениям в самой материи. Он проиллюстрировал эту мысль, говоря о знаке, который в позиции единиц считается единицей, а в позиции сотен — сотней. Он не уточнял природы этого знака.

Это может быть ссылкой на что-то вроде абаки. Этот знак мог бы быть предметом, который можно поместить в колонку или квадрат, где его место давало бы ему значение степени от десяти. Это могла быть отметка на песке, когда вычисления писались на земле. Известно, что индийские счетоводы любили простоту этого метода. В некоторых местах южной Индии и сегодня можно видеть, как сельские астрологи делают вычисления, раскладывая раковины каури в колонки, написанные на песке. Какова бы ни была форма абаки, ссылки Васумитра указывают на существование обозначения, в котором учитывалась значимость позиции.

Индийцы самостоятельно изобрели такой важный символ как ноль. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 г. н.э., он имеет вид привычного нам кружочка. Он появляется в дарственной надписи, вырезанной на медных табличках, от имени короля Калинги Девендравармана (из Ориссы, в восточной Индии). Документ датирован буквами и цифрами: самвакчара-чатам Трир-ачите (100) 83 Шраван массе денет вимчати 20 уткирнам, что буквально означает: «вырезаны сто восемьдесят три года (100) 83 (прошли) двадцатого дня 20 в месяце Шравана». Число 183 написанное тремя знаками, знаком, означающим сто, и цифрами 8 и 3. Число 20 написано цифрой 2 и нулем в форме маленького круга. Период, обозначенный в этом документе, начался в 498 году н. е., следовательно, документ датирован 681 годом н.э.

Позиционную запись, и ноль в форме большой точки или маленького круга находят и в надписях в юго-восточной Азии, в Самборе (Камбоджа) и Кота-Капур (Малайзия), где древние записи датируются VII веком н.э. Типы письма, используемые в этих странах, являются производными от индийских рукописных шрифтов, и их система записи чисел, без сомнения, индийская. Все эти документы показывают, что в конце VII столетия позиционная система и ноль были в общем употреблении не только в Индии, но и во всех тех странах, на которые оказала влияние индийская цивилизация. Система записи, где используются 9 цифр и ноль, быстро стала самой распространенной в надписях, но она никогда не вытесняла вполне старую систему, которая еще и до недавнего времени хранилась в рукописях, а в южной Индии даже в печатных книгах начала XX века.

Дроби в Индии записывались вертикально, как делаем и мы, только вместо черты дроби их заключали в рамку (так же, как в Китае и у поздних греков). Действия с дробями ничем не отличались от современных. Индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам наш термин «корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело два значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы. Аналогичная история произошла со словом «синус».

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» (полутетива, то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». И так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». Затем при переводе арабских сочинений на латынь уже европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом «синус», имеющим то же значение – «впадина» (в этом значении оно применяется и как анатомический термин).

Первые дошедшие до нас «сиддханты» (научные сочинения) относятся уже к IV—V векам н.э. - труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его работе «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. Выдающийся индийский математик и астроном вычислил значение числа «пи» как 3.1416, а также длину солнечного года в 365.3586805 суток. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с него, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. При решении уравнений, однако, отрицательные результаты неизменно отвергали. Брахмагупта, как и Ариабхата, систематически применял непрерывные дроби, теория которых отсутствовала у греков.

В 830 году, примерно через 200 лет после того, как появился шедевр Брахмагупты, Махавира написал «Ганита Сара Самграха», которая являлась доработкой книги Брахмагупты. Махавира справедливо утверждает, что «… число, умноженное на ноль, есть ноль, и число не изменится, если из него вычесть ноль». В то же время в его рассуждении о делении на ноль он пишет: «Число не меняется при делении на ноль». С виду это утверждение ложно, но некоторые комментировавшие труды Махавиры пытались найти этому оправдание. Бхаскара, написавший свой труд более 500 лет спустя после Брахмагупты. Несмотря на столь длительный промежуток времени, также затруднялся в объяснении деления на ноль:

«Величина, деленная на ноль, становится дробью с нулем в знаменателе. Эта дробь называется бесконечной величиной. Эта величина состоит из величины, имеющей ноль в качестве делителя, она постоянна, несмотря на то, что к ней можно многое добавить и многое из нее извлечь, так же как бесконечен и неизменен Бог даже тогда, когда создаются или прекращают существовать целые миры и множество существ поглощается либо «извергается».

Из этого видно, что ноль является символом божества, причем воспринимаемого как Единый и неделимый. Именно по этим теологическим соображениям нелепо делить на ноль, поскольку это то же, что делить само божество на независимые части. Бхаскара пытался разрешить задачу, написав n/0=∞. Это имеет смысл только с философской точки зрения для идеального божественного (энергетического) мира, а в обычной арифметике это неверное утверждение. Если бы это было верным, то тогда 0 раз по ∞ равнялось бы любому числу n и все числа были бы равны между собой. Индийские математики не могли утвердительно заключить, что на ноль делить нельзя. Бхаскара, тем не менее, корректно определил другие свойства нуля, а именно: 0²=0 и √0=0, а Махавира отмечает, что отрицательная величина не имеет квадратного корня. Махавира и другие джайнские ученые рассматривали концепцию перестановок и комбинаций как отдельную ветвь математики, назвав ее «викальпа». Она стала предком современной комбинаторики.

Особенно далеко индийцы продвинулись в алгебре и в численных методах. Их алгебраическая символика гораздо богаче, чем у Диофанта, хотя и несколько громоздка (засорена словами). Геометрия по каким-то причинам вызывала у индийцев слабый интерес — доказательства теорем состояли из чертежа и слова «смотри». Ряд открытий был сделан в области решения неопределённых уравнений в натуральных числах. Вершиной стало решение в общем виде уравнения ax²+b=y². В 1769 г. индийский метод заново переоткрыл Лагранж.

В VII—VIII веках индийские математические труды стали переводиться на арабский, а Десятичная система проникла в страны ислама, и через них, со временем — в Европу. А в XI веке после захвата и разорения мусульманами Северной Индии, культурные центры вынуждены были перенестись в Южную Индию, поэтому научная жизнь на длительный период угасла. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару, автора астрономо-математического трактата «Сиддханта-широмани», который дал решение уравнения Пелля и ряда других диофантовых уравнений, продвинул теорию непрерывных дробей и сферическую тригонометрию, и Шридхарачарью, который точно вычислил значение квадратного уравнения и ввел понятие квадратного корня.

XVI век был отмечен крупными открытиями в теории разложения в ряды, переоткрытыми в Европе 100—200 лет спустя. В том числе — ряды для синуса, косинуса и арксинуса. Поводом к их открытию видимо послужило желание найти более точное значение числа π.

Как видим, Индия внесла неоценимый вклад, в том числе и в развитие мировой науки. Самым знаменитым математиком Древней Индии был живший в гуптскую эпоху (IV—VI века) Арьябхата. Он систематизировал десятичную позиционную систему счисления, сформулировал правила извлечения квадратного и кубического корней, решения линейных, квадратных и неопределённых уравнений, задач на сложные проценты, наконец, создал простое и сложное тройное правило. Значение числа «пи» Арьябхата считал равным 3,1416. Он так же был и выдающимся астрономом. Он утверждал, что Земля движется вокруг своей оси, верно объяснял причины солнечных и лунных затмений, чем вызвал резкую критику со стороны индусских жрецов и многих собратьев по науке. От гуптской эпохи до нас дошло несколько астрономических трактатов, обнаруживающих помимо оригинальных разработок знакомство индийских учёных с греческой астрономией, в том числе с трудами Птолемея.

В самой Индии с почтением относятся к своему культурному наследию. Для этой страны характерна живучесть древних традиций и не удивительно, что многие достижения древнеиндийской цивилизации вошли в общекультурный фонд индийцев. Они стали неотъемлемым компонентом в мировой цивилизации, а сама Индия остается одной из самых любимых и загадочных стран в мире.

P.S. Уважаемый читатель, ваши вопросы и предложения по поводу прочитанного Вы можете прислать на наш e-mail: alatasa@mail.ru - Мы обязательно рассмотрим их и постараемся Вам ответить.

связаться с нами alatasa@mail.ru

2008